גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי

מצולע הוא צורה דו ממדית, עשויה קו "שבור" סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שני קדקודים שאינם סמוכים זה לזה. לדוגמה: בסרטוט שלפניכם EC אלכסון במצולע. ABCDE ( 3). מספר האלכסונים במצולע שמספר צלעותיו שווה ל- כיוון שקדקוד מסוים לא יכולה להתחבר לכדי אלכסון לא עם עצמו ולא עם שני שכניו, מספר האלכסונים של כל קדקוד הוא (3 ). ישנם ) ( קדקודים במצולע שיוצרים (3 ( אלכסונים, אך חישוב מכפלת ביטויים אלה גורמת לספירה כפולה של מספר האלכסונים (כל אלכסון יוצא משני קדקודים). לכן, מחלקים ב- את הביטוי. לדוגמה: בסרטוט שלפניכם מצולע בעל 5 צלעות ולכן מספר אלכסוניו הוא: 5 ( 5 3) 5 5 אלכסונים.( 180 ) סכום הזוויות הפנימיות במצולע שמספר צלעותיו הוא: 360 לדוגמה: בסרטוט שלפניכם מצולע בעל 6 צלעות. לפיכך, סכום הזוויות הפנימיות במצולע זה הוא: (180 6) 1080 70

שאלה לדוגמה -. a נתונים שני :מצולע a ומצולע. b סכום הזוויות הפנימיות של מצולע b כפול מסכום הזוויות הפנימיות של מצולע המצולע b אינו יכול להיות - מרובע מחומש משושה מתומן (1) () (3) (4) פתרון: נמצא את סכומי הזוויות הפנימיות שבכל ה עד 'מתומן' ( שמספר צלעותיהם קטן מ- ( 8 ונבדוק איזה מה אינו מתאים להיות המצולע. b כלומר, נמצא באיזה מצולע סכום הזווית הפנימיות הוא לא כפולה של סכום הזוויות הפנימיות של מצולע אחר. במשולש ובמרובע סכומי הזוויות הפנימיות ידועים לנו ולכן אין לנו צורך להשתמש בנוסחה, הסכומים הם 180 ו-. 360.( 180 ) הנוסחה לסכום זוויות פנימיות במצולע בעל צלעות היא: 360 מהנוסחה ניתן להסיק כי כל צלע שנוספת למצולע (ככל שנגדיל את ( תוסיף עוד 180 לסכום הזוויות הפנימיות במצולע. נכתוב את סכום הזוויות הפנימיות בכל ה שמספר צלעותיהם קטן מ- 8: משולש -,180 מרובע - 360, מחומש - 540, משושה - 70, מצולע בעל 7 צלעות - 900, מתומן -.1080 כעת נחפש מצולע שסכום זוויותיו הפנימיות גדול פי ממצולע אחר, נבדוק איזו תשובה אינה מתאימה: (1) סכום הזוויות הפנימיות במרובע גדול פי מסכום זה במשולש. תשובה זו מתאימה. () סכום הזוויות הפנימיות במחומש אינו גדול פי מסכום זה במצולע אחר. תשובה זו אינה מתאימה. (3) סכום הזוויות הפנימיות במשושה גדול פי מסכום זה במרובע. תשובה זו מתאימה. (4) סכום הזוויות הפנימיות במתומן גדול פי מסכום זה במחומש. תשובה זו מתאימה. התשובה הנכונה היא ().

משוכללים מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו וכל זוויותיו הפנימיות שוות זו לזו בגודלן. לדוגמה: משושה משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל שש צלעות. ריבוע הוא מצולע משוכלל בעל 4 צלעות. משולש שווה צלעות הוא מצולע משוכלל בעל 3 צלעות. גודל הזווית הפנימית ) α ( במצולע משוכלל שמספר צלעותיו : 6 צלעות. α לדוגמה: בסרטוט שלפניכם מצולע משוכלל בעל גודל זוויות פנימית במצולע זה: (180 6) α 6 180 60 10 בניית עזר נפוצה בשאלות רבות בנושא משוכללים היא חיבור קדקודי המצולע עם מרכזו. בנייה זו תיצור משולשים שווי שוקיים חופפים כמספר הצלעות במצולע (במחומש 5 משולשים, במשושה 6 משולשים וכו'). כמו כן, נוכל לגלות את זוויות המשולשים שנוצרים (ראה פירוט בהמשך). למשל: בסרטוטים שלפניכם דוגמאות לבניית עזר זו במשושה משוכלל ובמתומן משוכלל. * ב משוכללים בעלי מספר קדקודים זוגי (מתומן, משושה, ריבוע) מרכז המצולע נמצא על האלכסונים המחברים קדקודים נגדיים במצולע. סוג נוסף של שאלות משוכללים כולל חסימה של מעגלים. צורה חסומה היא צורה שכל קדקודיה נמצאים על היקף הצורה החוסמת. כל מצולע משוכלל ניתן לחסימה במעגל ובכל מצולע משוכלל ניתן לחסום מעגל. מעגל חסום בצורה הוא מעגל שכל צלעות הצורה החוסמת משיקות לו. למשל: בסרטוטים שלפניכם מעגל חסום במשושה משוכלל ומשושה משוכלל החוסם מעגל. בצורה משוכללת, מרכז המעגל החסום הוא גם מרכז המעגל החוסם וגם מרכז הצורה המשוכללת. לכן, ב משוכללים בעלי מספר קדקודים זוגי (מתומן, משושה, ריבוע) מרכז המעגל החוסם והחסום נמצא על האלכסונים המחברים קדקודים נגדיים במצולע.

זוויות במחומש משוכלל מחומש משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל 5 צלעות. סכום הזוויות הפנימיות במחומש משוכלל הוא 540 :.( 180 ) 180 5 900 540 גודל כל אחת מהזוויות הפנימיות במחומש משוכלל הוא 108 :. α (180 5) 180 7 108 5 בניית עזר במחומש משוכלל כאשר נחבר את קדקודי המחומש המשוכלל עם מרכז המחומש נקבל 5 משולשים שווי שקיים זהים שזווית הראש שלהם בת 7 וזוויות הבסיס שלהם בנות 54 (ראה סרטוט). שאלה לדוגמה-מחומש משוכלל אלכסון יחיד במחומש משוכלל מחלק את הזווית הפנימית במחומש ביחס של (4) לא ניתן לדעת 1: 3 (3) : 3 () 1: (1) פתרון: תחילה נחשב את גודל הזווית הפנימית במחומש משוכלל. נשתמש בנוסחה: (180 5). α 180 7 ונמצא כי גודל זווית פנימית הוא: 108 5 כעת, נסרטט מחומש משוכלל ונעביר בו אלכסון. נבדוק אילו זוויות נוספות נוכל למצוא בסרטוט. האלכסון יוצר משולש שווה שוקיים עם צלעות המחומש. זווית הראש במשולש זה היא זווית המחומש ולכן בת 108. כתוצא מכך, זוויות הבסיס במשולש שנוצר הן בנות 36 כל אחת..(108 36 מכאן שאלכסון המחומש מחלק את זווית המחומש לזוויות בנות 36 ו- ) 7 7. 1 : 36 נמצא את היחס בין הזוויות: : 7 * שימו לב: גם אילו היינו מעבירים במחומש את האלכסון השני שניתן להעביר מאותו קדקוד (ראה סרטוט נוסף), משולש זהה היה נוצר בצדו השני של המחומש והאלכסון עדיין היה מחלק את הזווית ביחס זהה, אלא שהזוויות הגדולה והקטנה היו "מחליפות צדדים". התשובה הנכונה היא (1). נציב 5, α משאלה זו נלמד כי: האלכסונים בצורה משוכללת מחלקים את זוויות המצולע הפנימית בצורה פופרציונית. לדוגמה: במשושה משוכלל לכל קדקוד מגיעים 3 אלכסונים (ראה סרטוט). אלכסונים אלה יחלקו את הזווית הפנימית ל- 4 זוויות שוות (כל אחת בת.( 30

זוויות במשושה משוכלל משושה משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל 6 צלעות. סכום הזוויות הפנימיות במשושה משוכלל הוא 70 :.( 180 ) 180 6 1080 70 כל אחת מהזוויות הפנימיות במצולע זה בת 10 :. α (180 6) 6 180 60 10 בניית עזר במשושה משוכלל כאשר נחבר את קדקודי המשושה המשוכלל עם מרכז המשושה נקבל 6 משולשים שווי צלעות זהים. במשושה משוכלל מרכז המצולע נמצא בנקודת מפגש האלכסונים. מעגל החוסם משושה משוכלל במעגל החוסם משושה משוכלל צלע המשושה שווה באורכה לרדיוס המעגל. בכל מצולע משוכלל בעל יותר מ- 6 צלעות צלע המצולע קטנה מרדיוס המעגל החוסם ובכל מצולע משוכלל בעל פחות מ- 6 צלעות צלע המצולע גדולה מרדיוס המעגל החוסם. מעגל חסום במשושה משוכלל במעגל החסום במשושה משוכלל רדיוס המעגל הוא הגובה במשולש שווה הצלעות שנוצר מחיבור קדקוקדי המשושה עם מרכז המעגל (ראה סרטוט).

שאלה לדוגמה - משושה משוכלל בסרטוט שלפניכם משושה משוכלל. ABCDEF? על פי נתונים אלה והנתונים שבסרטוט, AD AE 1 3 3 (1) () (3) (4) פתרון: על מנת למצוא את יחס הקטעים, נביע את אורכי הקטעים שנשאלנו לגביהם בעזרת אורך צלע המשושה המשוכלל. הקטעים שאנו נשאלים עליהם הם צלעות במשולש במשולש זה זווית אחת הידועה לנו- הזווית נחפש זוויות נוספות בסרטוט:. ADE ADE בת. 60 המשולש AFE הוא שווה שוקיים ) FE, AF אלו צלעות במשושה המשוכלל). זווית הראש במשולש זה היא זווית במשושה משוכלל ולכן בת.10 מכך שזוויות הבסיס של משולש זה, FAE ו- FEA בנות 30 כל אחת. זווית FED בת 10 (זווית במשושה משוכלל) ומורכבת מזווית בסיס במשולש AFE וזווית נוספת o 10 AED+30 ומכאן שזווית AED בת 90 o. AED לפיכך, 30, 60 מהשלמת סכום זוויות במשולש, המשולש ADE הוא משולש שזוויותיו, 90 ונשמר בו יחס צלעות של. 1 : 3 : הניצב הקצר במשולש זה הוא צלע המשושה.DE. הניצב הארוך במשולש זה הוא הצלע היתר במשולש זה הוא הצלע נציב ביחס שנשאלנו לגביו: התשובה הנכונה היא (3). 3 DE וכתוצאה מכך אורכה הוא, AE 3. DE וכפועל יוצא מכך אורכה הוא, AD. AD AE DE 3 DE

זוויות במתומן משוכלל מתומן משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל 8 צלעות. סכום הזוויות הפנימיות במתומן משוכלל הוא 1080 :.( 180 ) 180 8 1440 1080 כל אחת מהזוויות הפנימיות במתומן משוכלל בת 135 :. α (180 8) 8 180 45 135 בניית עזר במתומן משוכלל כאשר נחבר את קדקודי המתומן המשוכלל עם מרכז המתומן נקבל 8 משולשים שווי 67.5 שוקיים זהים שזווית הראש שלהם בת 45 (בסרטוט שלפניכם וזוויות הבסיס שלהם בנות.( α 67. 5 שאלה לדוגמה - מתומן משוכלל בסרטוט שלפניכם מתומן משוכלל. על פי נתונים אלה והנתונים שבסרטוט, α? 135 10 90 11.5 (1) () (3) (4) פתרון: הזווית המסומנת ב- α היא ההפרש בין זווית המתומן המשוכלל ובין הזווית המסומנת ב- β (ראה סרטוט מטה). הזווית המסומנת ב- β היא זווית הבסיס במשולש שווה שוקיים (שוקיו צלעות המשושה המשוכלל) שזווית הראש שלו היא זווית, β פנימית במתומן משוכלל. הזווית הפנימית במתומן משוכלל היא בת 135, ומכאן שזווית הבסיס במשולש שווה השוקיים, 180 135. 45. היא בת: 5 כעת, ניתן לרשום כי. α β 135. α 135. נציב את ערכה של הזווית βבמשוואה ונמצא כי 5 11. α לכן, 5 התשובה הנכונה היא (4).

על מנת לחסוך זמן בעת פתירת השאלות, מומלץ לזכור בעל פה את גודל הזווית הפנימית, סכום הזוויות הפנימיות ומספר האלכסונים ב המשוכללים הבאים: סוג המצולע המשוכלל גודל זווית פנימית סכום זוויות פנימיות מספר אלכסונים 0 180 60 משולש 360 90 מרובע 5 540 108 מחומש 9 70 10 משושה 0 1080 135 מתומן סוף שיעור בהצלחה בתרגול!